计算机基础补完计划 - 自学计算机科学相关课程。此部分为深入理解计算机系统及相关视频课程的学习笔记。此部分主要讲解整数和浮点数在计算机系统中的表示。
1. Binary encoding
MASK：用于和二进制串组合运算，得到其中一部分。
[原码，反码，补码的相关内容，略]
补码的另一种解释，把符号位作为负的二进制表示，例如四位二进制数： $$ 0_{10} -1_{10} = 1111_{2} =-1 * 2 ^{3} + 1 * {2} ^ 2+12^{1}+12^{0} $$
2. Integers in C
limits.h文件提供了有符号和无符号数的边界等宏定义。
在C语言中，无符号数占优，即表达式中混合使用无符号和有符号数时，有符号数会被转换为无符号数。
3. Bit shifting and sign extension
基于移位操作符，扩展有符号数。
在不产生溢出的情况下，逻辑移位（补0）等同于无符号数的乘2和四舍五入的除法，数学移位（Arithmetic shift，补最高位），等同于有符号数的乘除。
移位和掩码结合使用，可以提供丰富的位操作，如获取特定部分比特位等。
用位运算可以替换一部分条件语句，例如：
// 写法1
if(x)
a = y;
else
a = z;
// 写法2-三目运算符
a = x?y:z;
// 写法3：使用位运算
a = ((x<<31)>>31) & y + ((!x<<31)>>31) & z;
在优化的相关文章中提到：
现代的CPU有指令预测的功能，加入条件语句后会削弱指令预测的效果，因此第三种写法在某些情况下能够提高性能。
4. Fractional binary number
[二进制小数的内容，略]
二进制小数的问题在于只能精确表示由2的幂次组成的小数，其他的有理数（Rational number）只能通过循环二进制小数来表示。
Fixed Point Representation，固定小数点的位置来用二进制数表示小数，首先不够灵活，其次范围有限（数字表示的范围、精度难以界定和统一，这些受到小数点位置的影响）。
因此选择了Floating Point number。
5. Floating point
[C语言中的浮点数表示法，略]
来自IEEE浮点表示规范：IEEE Standard 754，这一规范主要考虑数学需求（Driven by numerical concerns），设计用来处理四舍五入、溢出和下溢（Standards for handling rounding， overflow， underflow），难以用硬件适配但数学上表现良好（Hard to make fast in hardware but numerically well-behaved）。
浮点数的数学形式： $$ V_{10}=(-1)^{s}M2^{E} $$
S为符号位；M为[1.0,2.0)之间的有效位数（尾数，不含整数部分）；指数E。
单精度浮点数占4字节，S、E、M分别占1bit，8bit，23bit；双精度浮点数占8字节，S、E、M分别占1、11、52bit。
实际存储中，M不包含整数部分，E用exp-Bias表示，即k bit的E，其1-（2k-2）分别表示的是(2-2k-1)-(2k-1-1)，此时的E全零或者全1保留用（表示无限或0）。
6. Floating point operations and rounding
$$ x+_{f}y=Round(x+y)\
x*_{f}y=Round(x+y) $$
浮点计算，首先会计算精确值，然后将其近似到满足精确度要求的位数上，此时可能会有两种意外情况出现：指数过大以至于溢出；小数部分过小被省去（以至于损失精度）。
近似有朝0、朝（上）正无穷、（下）负无穷、最近、平均等方式。但是一直朝着同一个方向近似，会引入统计偏差。因此IEEE标准规定采用平均近似（Round-to-even），即一半向上近似，一半向下近似 。
浮点数的实现使得其不一定满足分配律和结合律。
7. Floating-point in C
C语言提供了32bit和64bit的浮点表示标准，分别记为float和double，定义在math.h中。
值得注意的是，这样表示的浮点数进行是否相等的比较时是不精确的，结合律和分配律也不一定适用，因此使用浮点数进行运算时需要格外注意。
在int、float、double之间进行类型转换时，会有以下情况：
int ->float：
一定不会溢出，但是可能会损失尾数；
int -> double或者float -> double：
只要int小于等于53bit字长，就不会有精度损失
double/float -> int：
尾数部分被截断（朝0舍入）
超出表示范围或NaN时，一般会被设为Tmin（最小值）