FROM: 数学的雨伞下
读完这本书，最大的感触是两点：
- 当你面对似乎看不到头、棘手到不愿面对的“雨幕”时，数学总能留出至少一种方法把复杂的问题抽象、简化，在纯粹的概念空间中快速找到答案，就好像撑开一把雨伞穿过雨幕，等到达目的地后再收起这把伞（给抽象的定义赋予实际的意义）。
- 我们追寻结论的过程中，不时回过头去重新思考的时候，总会发现过往的不足和谬误，毕竟事物也是在螺旋上升的过程中，但在此过程中，除了“检验”我们的思维是否正确外，“校验”我们的思维框架是否正确可能更为必要。正如第四章所说的，我们所表达的一切都可能是模糊的，但辅以恰当的限定，推理过程的正确性很容易论证。
这本书对数学中几个概念的解释过程非常有趣，因此摘录于此：
- 牛顿的“万物落在万物之上，一刻不停”，结合几何的观点，变成了相对论中的“万物以光速前进，一刻不停。”
- 谢尔宾斯基三角形既可以通过挖空二维的三角形得到，也可以用线条填充一维的空心三角形得到，因此处于一维和二维之间，“在某个地方卡在了两者之间，就好像在从一个维度向另一个维度迁移的过程中，悬浮在了空中。它既不是线，也不是面。它是另类。”
- “求取 ∞-∞ 的值，就是提出一个缺少足够信息的问题。这有点儿像我跟你说：‘我买了五块黑巧克力和几块牛奶巧克力，请问我总共买了多少块巧克力？’问题的信息不完整，缺少一条能够得出答案的数据。无穷大的狡诈之处就在于，看似完整的问题实际上是不完整的。”
小小的勘误：
在第四章“合理地论证，却不知所言何物”一节中，作者在介绍三段论时措辞是：“显然，‘希腊人’包含在‘人’的圈子里，‘人’又包含在‘凡人’的圈子里。”严谨地说，在亚里士多德的例子中，大前提为“凡人皆有一死”，“凡人”二字中“凡”是“人”的全称量词，指代全部的人，没有例外。因此“凡人皆有一死”这个大前提，应该翻译为“所有的人都会死”，即所有人 => 会死，而非书中将“凡人”作为一个词汇来理解，有兴趣的朋友可以参考 三段论 和 简单的逻辑学。
以下为书内容的摘抄：
引言
1千克羽毛和1千克铅，哪个更重？哪个都不会更重，因为它们的重量是相同的：1千克。我当时还不知道，这个驯化事物含义的过程远比我所想象的更长。我越往前走，就越会发现词语含义的微妙之处和我对这个世界的理解中存在的漏洞。当然了，作为成年人，我们不会再落入孩提时代的陷阱。但认为我们从此可以免于其他窥伺在侧的偏见，那就错了。我们的直觉会欺骗我们，而我们认为理所当然的事情有时候是错误的。
这些智者怀疑眼前所见之事，并试图看得更远。他们奋起反抗既定的秩序。科学是考问的奇妙领地，而数学则是它最强大的工具之一。
第一章 超市定律
- 大自然似乎觉得这条定律实在是再普通不过。定律只有在不为我们所了解时才会是“反常”的。
我们与生俱来的数感
- 数学为我们提供了用来解决同一问题的上千种不同工具。这些工具就像钢琴的琴键。了解它们就是认识唱名，知道如何弹奏它们就是一门艺术。问比较两个数字是用加法好还是用乘法好，就像是在问作曲用G 大调好还是用a小调好。做出你自己的选择。这些选择可能并不总是最好的，但这无关紧要。
没有零也没有小数点的书稿
- 这是数学既令人困惑又令人震撼的长处之一：有时候，它可以说出正确的事情而人们不必知道说的是什么。
对数之桥
纳皮尔擅长用意想不到的办法去解决问题。有时候，你只需要改变视角就能找到解决办法。如果找到了正确的视角，最棘手的情况也会变得易如反掌。如果你不如鸽子灵巧，那就让鸽子变得不如你灵巧。解决重大问题并不总是得更聪明、更强大或更迅速。最重要的是找到窍门。
纳皮尔花了二十多年才发展出这一理论并制定出加法 / 乘法表。他当然是在没有计算器的情况下进行的。所有的计算都是他手工完成的。他在1614年发表了一部名为《奇妙的对数表的描述》(Mirifici logarithmorum canonis descriptio)的作品，并借机发明了“对数”这个词，用来指称乘法世界和加法世界之间的那座桥梁。
就在此时，美索不达米亚书吏们那引人入胜的不变量冲破时间的暗夜，回到了舞台上。想要完成所有的乘法运算，你并不需要所有数的对数。比如，你只需要知道1到1000的所有对数就足够了，然后抛却零和小数点进行计算。
为什么世界是乘法的？
这个世界青睐乘法，但为什么？为什么现实似乎在所有的情况下都偏爱这种分布呢？同样地，答案并不存在于大自然中，而是存在于人类对大自然的观察偏差之中。鉴于本福特定律所具有的普遍性，它没有任何理由要取决于我们看待它的方式。
出于纯粹的智力挑战，出于体验数学的形式之美，出于让我们的思维变得多姿多彩，不带任何期待地去理解一件事，未必不会让人获得极大的满足。然而，即便是最无用的事情，有时也会暗藏意料之外的宝藏。可不要低估了这些定理。
第二章 苹果和月亮
现实世界比我们在字典中看到的填鸭式描述更具创造力，更令人眼花缭乱。
它们给了我们一种理解上的错觉，如果我们对这种错觉太过关注，它就会变得极端而危险。这些标杆有助于让人继续前进，但你还得知道如何超越这些标杆，从而走得更远。
如何在正确的时间做出正确的选择？采用什么标准，以及为什么采用这种标准？我们对一个不完美或主观的定义能满意到何种程度？而且应该在什么时候决定对它弃之不用？当一切看起来都是相对的时候，我们又能以什么为仰赖？当世界看起来是流动的，而且每当我们想要抓住它，它就会从指缝中溜走时，我们又该如何进行科学研究？
这些定义会伴随我们一段时间，并推动我们前行。它们会指引我们去思考，指引得如此之好，以至于到了某一步，这些定义本身会告诉我们，它们无法走得更远，而我们将不得不与它们分道扬镳。
数字是什么？
- 知道如何讨论理想对象而不必知道如何将它们与它们所源自的具体情况相联系，这就是数学的伟大力量。
雨伞的功用
这是数学颠覆我们三观的优点之一：可以用不存在的东西去恰当地思考。实际上，思考不存在的东西甚至可以说是数学的特性。不存在的东西也就是抽象的东西。
走得更远，并不总是意味着长久而乏味的努力，而是首先要找到解决所面临的问题的正确方法。如果我们以正确的方式看待问题，那么最错综复杂的问题也会在一瞬间变得简单明了。伟大的智者能尽显其才，首先是因为他们拥有在正确的时间发明正确的雨伞的能力。
选择太多，就难以做出选择了。懂得如何在数学世界里自我驾驭，是一种需要实践和直觉的能力。为此，数学家制造出很多导航工具，其中有两个指南针：一个名叫“实用”，一个名叫“优雅”。“实用”引导我们创造出最贴近现实的抽象世界，在这些抽象世界中进行的研究能够轻松地转化为关于我们宇宙的知识。“优雅”告诉我们要完全抛开现实，并沉醉在抽象世界的奇观中。
万物落在万物之上，一刻不停
- 这一如此简单而深奥的原理，将如此的优雅与力量集于一身。万物落在万物之上，一刻不停，一切都得到了解释。
引力的成功
- 现实的回应可能会是相反的，人们要做好面对困难的准备。世界可能会说“不”。理论对世界的粗略描述是不够的，它必须尽可能忠实地融入现实中。
地球的形状
我们应该对那些诋毁引力的学者保持宽容。事后对失败者进行评判，总是很容易，但针锋相对的论战绝对是知识进步的必要条件。
科学的进步总会伴随着令人扫兴的事情。如果一种理论能够抵御对它最为致命的攻击，那么这些攻击也会变为成就这一理论的主要推手。
第三章 无限的曲折
我们越是精确地测量英国的海岸线，其长度就会越长。添加越来越小的细节只会令测量值无限度地增加（图3.2）。如果我们不想做出任何让步，那么这个问题的唯一答案就是：英国的海岸线无限长。
在理查森指出的奇怪现象之上，曼德博创建了一种全新的理论，而很多年轻的数学家都将追随后者的脚步。1974年，也就是在他关于英国海岸线的文章发表七年后，曼德博认为是时候发明一个词语来指称这些既如此美丽又如此神秘的形状了。他把它们称为“分形”。
巨大和无穷大
在所有掌握先进数学知识的文明中，古印度人很早就和大数建立了一种特殊的关系。从公元前3世纪开始，并在此后的一千年中，几代学者都参与到“谁的大数更大”的疯狂竞赛中。竞赛不断升级，而参与者的动机不仅仅是科学的，也是诗意的和宗教的。学者们出于游戏和挑战发明出大数，为的是给人一种头晕目眩的感觉，以及尝试接近超越我们认知的事物。
我们很容易认为，作家的想象力可以到达一个无穷大的探索领域。但想想，作家能够在一本书中讲述所有故事，但只有其中很小一部分被写了出来。一个面对空白纸页的作家是不受任何限制的，他 / 她可以按照自己的意愿创造出各种各样的世界，故事可以发生在过去、现在、未来，或现实之外的某个时间，这些故事也可以发生在任何国家、任何星球，或在某个纯粹虚构的地方，不受任何限制。可能性似乎完全是无穷大的。但是，让我们换一个角度去看。任何图书都是由数量有限的字符组成的，这些字符属于某个由数量有限的字母构成的字母表。如果一位作者想要写一本有600000个字符的书，那么每一个字符只可能是从A 到Z 的26个字母之一或标点符号，因此，这600000个字符中的每个字符只有约五十种可能的选择。有了这两个数据，我们就有可能以数学的方式计算出产生不同图书的数量[2]。我们会得到101019382。
数学虽然是确切的科学，但要接受一座并非无限的图书馆能够容纳所有可能存在的书，确实是一件非常复杂的事情。这种困难只有一个解释：数字101019382 确实非常非常之大，大到我们无法领会它的完整测度。
无穷大与巧克力
一个运算的结果并不取决于被计算的对象。巴比伦的书吏已经明白了这一点，而这就是他们数字系统的强大优势之一。
数的这种特性如此自然而明显，我们几乎连把它表述出来的兴趣都没有，更谈不上对此感到惊讶了。但是，当我们谈论无穷大时，这个特性就是错误的。一个运算的结果取决于你计算的对象和你选择添加或删除的特定元素！
求取 ∞-∞ 的值，就是提出一个缺少足够信息的问题。这有点儿像我跟你说：“我买了五块黑巧克力和几块牛奶巧克力，请问我总共买了多少块巧克力？”问题的信息不完整，缺少一条能够得出答案的数据。无穷大的狡诈之处就在于，看似完整的问题实际上是不完整的。
集合论将对另一个基本原理提出质疑：根据这个基本原理，整体大于其部分。例如，我们可能会认为奇数的无穷大比所有整数的无穷大“更小”，因为整数中还有偶数。
这听起来实在与直觉不符，但这类结果是驯服无穷大这个怪兽需要付出的代价。你内心最深处认为理所当然的事情可能是错误的……而且，你看到的这些根本算不上什么。从现在开始，无穷大将与我们为伴。而且，我们将比任何时候都需要懂得“放手”。无穷大的存在强大又危险，会像阴影一样笼罩着我们对这个世界的探索。一切都不会再像从前那样。
佩亚诺曲线
海岸线悖论在本质上与狄多悖论非常相似。海岸线和边境线在面积上被包含在有限的领土中，但它们的长度却是无穷大的。
就像前文中的巧克力，我们不是很清楚问题本身想说明什么。或者，至少要弄清相关定义，好让问题看上去有意义。这就是佩亚诺设法做到的事情。他构造出这样一条无限长、细节无限细密的线条，然后开始研究它奇异的特性。
欧几里得的三个维度
欧几里得以一种令人难以置信的现代的严谨性和条理性，在《几何原本》中奠定了整个数学的基础。自亚历山大城初建的时代以来，很多事情发生了改变。亚历山大图书馆被毁，而科学也改头换面。但是，如果有一样东西称得上永恒的话，那或许就是数学。欧几里得的定理依然在世界各地的学校里被教授，而他的方法在23个世纪后基本没有发生变化。
这一发现向我们清楚地表明，线和面之间的界限比我们想象的要模糊得多。这一发现需要深化和重新思考。原本对维度的严格定义是错误的。我们不能只满足于计算坐标。
迈向第四个维度，和下一个维度
- 如果你还记得杰里米·哈珀的实验，你就知道数到100万需要三个月！你就算知道，也很难相信。我们的大脑在大数面前依然表现得笨拙不堪，而且我们很难让自己相信在一天之内是无法完成编号的。但是，与其相信直觉，我们应该更相信计算。
分形维度
谢尔宾斯基三角形处于一维和二维之间。这是一个小数！构成谢尔宾斯基三角形的微小三角形堆叠得太过整齐、密实，这个图形不只是线，但这些小三角又没有密实到变成一个真正的面。谢尔宾斯基三角形在某个地方卡在了两者之间，就好像在从一个维度向另一个维度迁移的过程中，悬浮在了空中。它既不是线，也不是面。它是另类。
相信逻辑推理而非自己的直觉需要一定的勇气。
在现实中，一切都是被切割的、剁碎的、撕裂的、细碎的、揉皱的、凹凸不平的。粗糙才是常态，平滑只是例外。就连地球也不是溜圆的，而是布满了高低起伏的峡谷和山峰。大自然是分形的！这就是曼德博的主张。
分形研究最令人惊讶的地方处或许是，直到20世纪，科学才开始真正关注这些在我们的世界中无处不在的形状。就像本福特定律，分形在数个世纪中一直就在我们祖先的眼前，但他们似乎没有看到分形。
你正在观察的事物中还有多少有待发现？这个世界上还有什么未曾被人了解的事情等待我们去了解，只因为没人想到要去了解它们？我们眼前还有什么引人入胜却未受关注的事物？有时候，显而易见之事就在细节之中。
乘法思维
- 就像本福特定律，如果这些情况与我们的理解相冲突，那是因为我们想歪了。因为我们在并不适用的情境中使用了自己并不那么了解的数学工具。
第四章 模糊的艺术
显而易见和复杂定理之间的界线可能是模糊的，而且可能对每个人而言都不一样。欧几里得的方法让我们免于把时间浪费在关于什么显而易见而什么不是的争论上。数学不在乎什么是显而易见的，它只想知道什么是真的。
第五公设最首要的独创性来自以下这个事实：它实际上不是一个几何问题，而是一个逻辑问题。它对数学本身的功能提出了质疑，迫使与之擦肩而过的学者们对自己学科中最为隐秘的“显而易见”提出质疑。
颜色的错觉
词语划定的边界不仅是人为的，而且是模糊的。
20世纪60年代初进行的研究表明，逐渐往词汇中添加新颜色的语言总是以大致相同的顺序进行的。因此，一些“蓝绿语”也是“红黄语”（即红、黄不分），反之则不是。蓝、绿界线总是在红、黄界线之后形成。
有趣的是，我们把这种色盲传染给了电子设备。我们用来拍摄的相机，还有电视和计算机屏幕都是以捕捉和再现RGB 颜色模型（即红绿蓝颜色模型）为目的而设计的，这就完全忽略了存在的所有其他颜色差别。如果你和拥有四色视觉的动物一起坐在电视机前，它会告诉你屏幕上缺少了某些颜色。你的电视屏幕没有再现出这个世界的颜色，而只是再现出让我们看不出差别的颜色。你就像一个眼睛只能看到黑白两色的人，一边看着黑白电视，一边佯装画面与现实相符。
这种方法再次展示了“雨伞定理”。想要观察无形的宇宙：(1)使用一个可以探测到其他颜色的仪器；(2)观察；(3)把你观察到的事物转换到肉眼可见的颜色中，然后欣赏。
误解的数学
我们在这里必须明白一件事：所有这些语言的模糊性都只是表面上的。这些模糊性是可以识别的，而且在必要时是可以减少的。在日常生活中，我们在使用词语时并不需要绝对精确。我们可以轻松应对歧义。如果这些歧义最终妨碍了沟通，我们只需稍加讨论，就某个精确的词语达成共识就行了。
个人主观性的本质是无法通过任何讨论、任何问题和任何经验来加以揭示的。误解，如果有的话，是察觉不到的。无论你看到了什么，无论你感觉到了什么，你对世界的感知都是你所独有的。
数学是模棱两可的。数学就像颜色，可能为绝对的主观性所累，而很多理论可以用几种不同的方式来阐释。
合理地论证，却不知所言何物
博尔赫斯写道：思考，是忘记差异，是概括、抽象。
显然，“希腊人”包含在“人”的圈子里，“人”又包含在“凡人”的圈子里。
要理解亚里士多德的推理方法，就必须区分推理的正确性和所陈述事实的正确性。比如，让我们来看看下面这个新的三段论：所有的哺乳动物都有鳞片；鹦鹉是哺乳动物；因此，鹦鹉有鳞片。
第五章 空间和时间的深渊
在你没有意识到的情况下，你还是一个广袤空间的微小构成部分，你在这个空间里不停移动。
绝对静止的假设对于喜欢寻找参照点的人类大脑来说当然很好，但对于毫不在乎参照点的自然规律来说，似乎是完全没有必要的。
时空的概念
距离和持续时间是两种截然不同的现象，这是因为，我们在日常生活中对它们的感知方式截然不同，因此很难承认它们是可以相互转换的。然而，这只是一枚硬币的两面。
老实说，我们用来求得这条对角线长度的并不完全是一条欧几里得定理。因为在对时空的描述中，闵可夫斯基还规定了另一件事：时间相对于距离的计算必须加上一个负号。这个想法与海平面以下的负海拔颇为相似。即使时间可以转换成距离，但两者的性质仍保持不同的指向。这就是我们这个矩形的对角线比边要短的原因。在真正的欧氏几何中，矩形的对角线总会比边长。但除了这个细节，闵氏几何的工作原理与欧氏几何的并无二致。
就像引力理论所说的：“万物落在万物之上，一刻不停。”相对论现在也可以说：“万物以光速前进，一刻不停。”
以恰当的角度去看，即使乍看起来最复杂的理论也会突然间变得简单，这总能让人感到不可思议。当然了，这需要经过一个抽象的步骤。
E=mc^2
- 汽车行驶的距离取决于两件事：它的行驶速度和行驶时间。如果你以两倍的速度行驶两倍的时间，你就会行驶4倍的路程。制动距离就属于这种情况。如果一辆汽车出发时的速度是100千米 / 时，那么它所需的停车时间就将是以50千米 / 时的速度行驶时停车时间的两倍。在此期间，它的平均速度增加了一倍。因此，制动距离是原来的4倍就完全合乎逻辑了。换句话说，速度以两种不同的方式使距离加倍。
广义相对论
- 这一次，牛顿输了。时空的几何不是欧氏几何。颇具讽刺意味的是，埃丁顿观察日食的地点和日期正是通过《原理》中的方程计算出来的。
寻找黑洞
引力波既不是我们看到的图像，也不是我们听到的声音，更不是我们尝到的味道。没有任何一种动物具有感知它们的能力。引力波是一种新的感知。
在2015年9月14日之前，我们对遥远宇宙的一切了解都归功于光。我们通过可以感知不为肉眼所见的颜色的设备拓展了自己的目力，但所有这些设备除了捕捉光线外别无他用。而现在，我们第一次以一种全新的方式感知到了黑洞。在牛顿的数学发现了一颗行星的地方，爱因斯坦的数学发现了一种甚至在几代人之前都无法想象的感知。
有多少东西是我们没有看到的？牛顿、欧几里得、佩亚诺、布给、纳皮尔、尼普尔的书吏，还有我们所有的祖先，都曾在他们的生活中被引力波穿越而过，但一刻都未曾想象过这种现象真的存在。那么有多少事件（或远或近的）已经存在，却仅仅因为我们没有能力感知和设想而不为人所知？有多少问题仍在等待着人类去解答？有多少证据明明就在我们眼前，而我们却不知道如何看到？让我们保持耐心和好奇心，让我们慢慢品味无知的快乐，让我们不带愧疚地享受欺骗人的感官，适应有时会对人撒谎，有时会在黑暗中投下几束火花的大脑。时间，如果它存在的话，也许会回答那些我们从未问过自己的问题。
在讲述科学史的时候，沉醉于一些魅力非凡、才华横溢的杰出人物的冒险中，是一件愉快的事情，这些人物在他们所处的时代和领域都留下了不可磨灭的印记。欧几里得、牛顿或爱因斯坦，个个都堪称天才。但现实总是比我们讲述的故事要更复杂和微妙。科学首先是一种集体冒险，孤独的天才凭借一人之力做到了别人做不到的事情，这种传说纯属无稽之谈。
第二章中提出的雨伞比喻经常用于指代以下三个步骤的过程：撑开雨伞、行走、收起雨伞。但是，“雨伞定理”这种说法并不通用，而是我自己的发明。请注意，这个结果严格来说并不是一个“定理”，但我喜欢这种说法，所以还请大家原谅我的这个偏差。在数学中，根据上下文，这个非定理可以被称为“基础变化公式”或“内自同构”。
没有任何关于世界的理论是确定的。数学是美丽的，但它仍然受到现实跌宕起伏的摆布。这是好，也是坏。牛顿为此付出了代价。爱因斯坦又能持续多久呢？
有一天，我们能否完全了解在这个世界的幕后转动的巨大齿轮？或者，真相会像海洋的天际线一样总是遥不可及？科学家们喜欢的是理论奏效的时刻，但他们中很多人最喜欢的，是理论暴露出自己缺陷的时刻。正是在这些突破口中，蕴藏着发现的兴奋、冒险的趣味和我们对未知领域的迷恋。了解这个世界的道路是如此美丽，我们甚至希望它永远不会走到尽头。